Tensorflow快餐教程(4) - 矩阵

矩阵

矩阵的初始化

矩阵因为元素更多，所以初始化函数更多了。光靠tf.linspace，tf.range之类的线性生成函数已经不够用了。

可以通过先生成一个线性序列，然后再reshape成一个矩阵的方式来初始化。

例：

>>> g1 = tf.linspace(1.0,10.0,16)
>>> g1
<tf.Tensor 'LinSpace_6:0' shape=(16,) dtype=float32>
>>> g2 = tf.constant(sess.run(tf.reshape(g1,[4,4])))
>>> sess.run(g2)
array([[ 1.       ,  1.6      ,  2.2      ,  2.8000002],
       [ 3.4      ,  4.       ,  4.6000004,  5.2000003],
       [ 5.8      ,  6.4      ,  7.       ,  7.6000004],
       [ 8.200001 ,  8.8      ,  9.400001 , 10.       ]], dtype=float32)
>>> g2
<tf.Tensor 'Const_29:0' shape=(4, 4) dtype=float32>
tf.linspace生成了(16,)的一个向量，然后被reshape成(4,4)的矩阵。

生成全0值的矩阵

tf.zeros可以生成全0的矩阵，不指定类型时，默认为float32.

>>> g7 = tf.zeros([4,5])
>>> sess.run(g7)
array([[0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.]], dtype=float32)

可以指定数据类型：

>>> g8 = tf.zeros([10,10],dtype=tf.int32)
>>> sess.run(g8)
array([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]], dtype=int32)

生成全1的矩阵

类似地，我们可以用tf.ones生成值全为1的矩阵。
例：

>>> g9 = tf.ones([8,2],dtype=tf.int64)
>>> sess.run(g9)
array([[1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [1, 1]])

将矩阵全部设成一个值

tf.ones和tf.zeros其实是特例，tf.fill才是更通用的功能：

>>> g10 = tf.fill([5,5],10.1)
>>> sess.run(g10)
array([[10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1],
       [10.1, 10.1, 10.1, 10.1, 10.1]], dtype=float32)

生成对角矩阵

矩阵一个特点是经常是只有稀疏的值。最常用的就是对角阵，只有一条对角线上有值。
例：

>>> g11 =tf.diag([1,1,2,2])
>>> sess.run(g11)
array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 1, 0, 0],
       [0, 0, 2, 0],
       [0, 0, 0, 2]], dtype=int32)

除了生成对角阵，我们还可以从一个矩阵中将对角线值获取成一个向量：

>>> g12 = tf.diag_part(g11)
>>> sess.run(g12)
array([1, 1, 2, 2], dtype=int32)
>>> g12
<tf.Tensor 'DiagPart:0' shape=(4,) dtype=int32>

随机生成初始化值

除了全0，全1，全确定值和对角线值，还有一种非常常用的方式就是生成随机值。
我们可以按正态分布来生成初始值：

>>> g13 = tf.random_normal([5,5])
>>> sess.run(g13)
array([[ 0.21010283,  1.083522  , -2.1688387 , -1.2340024 ,  0.9230036 ],
       [ 0.43592915, -0.7187195 , -1.3310403 ,  0.27570882,  1.3831469 ],
       [-0.42430717,  2.8005996 ,  1.1899991 ,  0.6987934 ,  1.6732428 ],
       [ 0.4975314 , -1.259698  ,  1.2508341 , -1.2581793 , -0.8776101 ],
       [ 0.49039882,  0.8129552 ,  1.2836359 , -0.3732389 , -2.034603  ]],
      dtype=float32)

可以指定平均值和标准差，默认均值为0，标准差为1。默认的类型为float32，反正不支持整数。

例：

>>> g14 = tf.random_normal([3,8], mean=1.0, stddev=2.0, dtype=tf.float32)
>>> sess.run(g14)
array([[ 3.7580974 , -2.7150466 , -2.107638  ,  1.7130036 , -0.8702172 ,
        -1.0325654 ,  3.1230848 , -0.82150674],
       [-1.3860679 ,  0.03262603, -0.63146615, -0.71946084,  1.182011  ,
         0.34882843,  2.3536258 , -1.0503623 ],
       [-3.6498313 ,  0.4458651 ,  2.9859743 ,  2.153699  ,  3.8967788 ,
         1.895072  ,  3.5918627 ,  1.9855003 ]], dtype=float32)

矩阵的转置

将矩阵中的元素基于对角线对称交换，叫做矩阵的转置transpose。

例：

>>> g3 = tf.transpose(g2)
>>> g3
<tf.Tensor 'transpose_1:0' shape=(4, 4) dtype=float32>
>>> sess.run(g3)
array([[ 1.       ,  3.4      ,  5.8      ,  8.200001 ],
       [ 1.6      ,  4.       ,  6.4      ,  8.8      ],
       [ 2.2      ,  4.6000004,  7.       ,  9.400001 ],
       [ 2.8000002,  5.2000003,  7.6000004, 10.       ]], dtype=float32)

1,4,7,10是对角线，在转置时保持不变。

在非方阵的情况下，转置后对角线仍然保持不变。
我们看一个2*3矩阵的例子：

>>> g4 = tf.linspace(1.0,10.0,6)
>>> g5 = tf.reshape(g4,[2,3])
>>> sess.run(g5)
array([[ 1.       ,  2.8      ,  4.6      ],
       [ 6.3999996,  8.2      , 10.       ]], dtype=float32)

对角线是1和8.2.
我们转置一下：

 >>> g6 = tf.constant(sess.run(tf.transpose(g5)))
    >>> sess.run(g6)
    array([[ 1.       ,  6.3999996],
           [ 2.8      ,  8.2      ],
           [ 4.6      , 10.       ]], dtype=float32)

虽然从一个宽矩阵变成了高矩阵，但是对角线仍然是1和8.2.

矩阵的数学运算

加减运算

两个行列相同的矩阵可以进行加减运算。
例：

>>> h01 = tf.random_normal([4,4])
>>> h02 = tf.fill([4,4],1.0)
>>> h03 = h01 + h02
>>> sess.run(h03)
array([[ 1.959749  ,  1.2833667 ,  0.12137735,  1.0297428 ],
       [ 1.3971953 , -0.0582509 ,  1.1770982 ,  2.154177  ],
       [-1.1314301 ,  1.6063341 , -1.2442939 ,  1.2752731 ],
       [ 1.3077021 ,  0.42679614,  2.9681108 ,  1.6179581 ]],
      dtype=float32)

广播运算
例：

>>> h04 = h02 + 2.0
>>> sess.run(h04)
array([[3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3.]], dtype=float32)

矩阵乘积
"*"运算在矩阵乘法中，跟上节所讲一样，还是Hadamard积，就是对应元素的积，例：

>>> h05 = tf.reshape(tf.linspace(1.0,10.0,16),[4,4])
>>> sess.run(h05)
array([[ 1.       ,  1.6      ,  2.2      ,  2.8000002],
       [ 3.4      ,  4.       ,  4.6000004,  5.2000003],
       [ 5.8      ,  6.4      ,  7.       ,  7.6000004],
       [ 8.200001 ,  8.8      ,  9.400001 , 10.       ]], dtype=float32)
>>> h06 = tf.reshape(tf.linspace(1.0,16.0,16),[4,4])
>>> sess.run(h06)
array([[ 1.,  2.,  3.,  4.],
       [ 5.,  6.,  7.,  8.],
       [ 9., 10., 11., 12.],
       [13., 14., 15., 16.]], dtype=float32)
>>> sess.run(h05 * h06)
array([[  1.       ,   3.2      ,   6.6000004,  11.200001 ],
       [ 17.       ,  24.       ,  32.200005 ,  41.600002 ],
       [ 52.2      ,  64.       ,  77.       ,  91.200005 ],
       [106.600006 , 123.200005 , 141.00002  , 160.       ]],
      dtype=float32)

我们也可以用matmul函数，或者"@"运算符计算矩阵相乘的结果：

>>> h05 @ h06
<tf.Tensor 'matmul:0' shape=(4, 4) dtype=float32>
>>> sess.run(h05 @ h06)
array([[ 65.200005,  72.8     ,  80.40001 ,  88.      ],
       [132.40001 , 149.6     , 166.80002 , 184.      ],
       [199.6     , 226.40002 , 253.20001 , 280.      ],
       [266.8     , 303.2     , 339.60004 , 376.      ]], dtype=float32)

"@"是高版本Python中支持的操作，在tensorflow中重载它的函数为matmul。

逆矩阵 Inverse Matrices
定义I为单位对角矩阵，如果BA=I，那么我就说B是A的逆矩阵。可以通过matrix_inverse函数来获得逆矩阵，例：

>>> i01 = tf.diag([1.0,2.0,3.0,4.0])
>>> sess.run(i01)
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 2., 0., 0.],
       [0., 0., 3., 0.],
       [0., 0., 0., 4.]], dtype=float32)
>>> i01_rev = tf.matrix_inverse(i01)
>>> sess.run(i01_rev)
array([[1.        , 0.        , 0.        , 0.        ],
       [0.        , 0.5       , 0.        , 0.        ],
       [0.        , 0.        , 0.33333334, 0.        ],
       [0.        , 0.        , 0.        , 0.25      ]], dtype=float32)

我们来验算一下i01_rev与i01相乘是不是单位矩阵：

>>> sess.run( i01_rev @ i01)
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]], dtype=float32)

果然是。

对角阵比较特殊，还满足交换律：

>>> sess.run( i01 @ i01_rev)
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]], dtype=float32)

求行列式的值以判断是否有逆矩阵
我们学习线性代数知道，如果一个矩阵要想有逆矩阵，它的行列式一定不能为0。

在Matlab和mathematica两大著名数学软件中，求行列式的函数名字很简单，就是det。
Tensorflow因为是个库，所以名字比较长，叫tf.matrix_determinant.

我们来看一个例子：

>>> A1 = [[1,1,1],[1,-1,-1],[5,-2,2]]
>>> A = tf.constant(A1, tf.float32)
>>> A
<tf.Tensor 'Const_3:0' shape=(3, 3) dtype=float32>
>>> sess.run(A)
array([[ 1.,  1.,  1.],
       [ 1., -1., -1.],
       [ 5., -2.,  2.]], dtype=float32)
>>> d = tf.matrix_determinant(A)
>>> sess.run(d)
-8.0

利用逆矩阵求解线性方程组
假设有下列方程组，求解：

x+y+z =1,
x-y-z = 2,
5x-2y+2z = 3

这个题中的系数矩阵就是我们刚才例子中的矩阵，我们已经求得行列式值为-8不等于0，所以我们可以通过用系数矩阵的逆矩阵乘以常数向量的方式求解。

>>> b = tf.constant([[1],[2],[3]],dtype=tf.float32)
>>> b
<tf.Tensor 'Const_4:0' shape=(3, 1) dtype=float32>
>>> sess.run(b)
array([[1.],
       [2.],
       [3.]], dtype=float32)
>>> sess.run(tf.matmul(tf.matrix_inverse(A),b))
array([[ 1.5000001],
       [ 0.875    ],
       [-1.3750001]], dtype=float32)

最后求得，x=1.5, y=0.875, z = -1.375.

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